4912. Точки A
, B
и C
лежат на сторонах соответственно KL
, LM
и KM
треугольника KLM
, причём KABC
— параллелограмм, площадь которого составляет \frac{3}{8}
площади треугольника KLM
. Найдите диагональ AC
параллелограмма, если известно, что KL=8
, KM=12
и \cos\angle LKM=\frac{7}{12}
.
Ответ. 8
или 2\sqrt{6}
.
Решение. Пусть площадь треугольника CBM
равна S
, а \frac{BM}{ML}=k
. Треугольник KLM
подобен треугольнику CBM
с коэффициентом \frac{1}{k}
, а треугольник ALB
— треугольнику CBM
с коэффициентом \frac{1-k}{k}
, поэтому
S_{\triangle KLM}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S_{\triangle CBM}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,~S_{\triangle ALB}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S_{\triangle CBM}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S,
S_{KABC}=S_{\triangle KLM}-S_{\triangle CBM}-S_{\triangle ALB}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S-S-\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,
или
1-k^{2}-(1-k)^{2}=\frac{3}{8},~16k^{2}-16k+3=0,
откуда находим, что k=\frac{1}{4}
или k=\frac{3}{4}
.
В первом из этих случаев (рис. 1)
AK=BC=\frac{1}{4}KL=\frac{1}{4}\cdot8=2,~CK=AB=\frac{3}{4}KM=\frac{3}{4}\cdot12=9.
Следовательно,
AC=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}-2AK\cdot CK\cos\angle LKM}=\sqrt{4+81-2\cdot2\cdot9\cdot\frac{7}{12}}=\sqrt{64}=8.
Во втором случае (рис. 2)
AK=BC=\frac{3}{4}KL=\frac{3}{4}\cdot8=6,~CK=AB=\frac{1}{4}KM=\frac{1}{4}\cdot12=3.
Следовательно,
AC=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}-2AK\cdot CK\cos\angle LKM}=\sqrt{36+9-2\cdot6\cdot3\cdot\frac{7}{12}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 19, с. 173