4913. Точки M
, K
и N
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
, причём AMKN
— параллелограмм, площадь которого составляет \frac{4}{9}
площади треугольника ABC
. Найдите диагональ MN
параллелограмма, если известно, что AB=21
, AC=12
и \angle BAC=120^{\circ}
.
Ответ. 13
или 2\sqrt{67}
.
Решение. Пусть площадь треугольника NKC
равна S
, а \frac{CK}{CB}=k
. Треугольник ABC
подобен треугольнику NKC
с коэффициентом \frac{1}{k}
, а треугольник MBK
— треугольнику NKC
с коэффициентом \frac{1-k}{k}
, поэтому
S_{\triangle ABC}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S_{\triangle NKC}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,~S_{\triangle MBK}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S_{\triangle NKC}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S,
S_{AMKN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle NKC}-S_{\triangle MBK}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S-S-\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S=\frac{4}{9}\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,
или
1-k^{2}-(1-k)^{2}=\frac{4}{9},~9k^{2}-9k+2=0,
откуда находим, что k=\frac{1}{3}
или k=\frac{2}{3}
.
В первом из этих случаев (рис. 1)
AM=NK=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}\cdot21=7,~AN=MK=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot12=8.
Следовательно,
MN=\sqrt{AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos120^{\circ}}=\sqrt{49+64+56}=\sqrt{169}=13.
Во втором случае (рис. 2)
AM=NK=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot21=14,~AN=MK=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}\cdot12=4.
Следовательно,
MN=\sqrt{AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos120^{\circ}}=\sqrt{196+16+56}=2\sqrt{49+4+14}=2\sqrt{67}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 18, с. 172