4914. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит боковую сторону на отрезки 1 и 4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.
Ответ. 10
или \frac{128}{11}
.
Решение. Пусть окружность радиуса R
с центром O
, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
, касается боковой стороны AB
в точке M
, причём AM=4
и BM=1
. Тогда OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла AOB
, поэтому
R=OM=\sqrt{AM\cdot BM}=\sqrt{4\cdot1}=2.
Если h
— высота трапеции, то h=2R=4
.
Пусть прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через вершину B
и пересекает основание AD
трапеции в точке P
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \angle APB=\angle CBP=\angle ABP
, значит, треугольник ABP
— равнобедренный, AP=AB=5
. Следовательно,
S_{\triangle ABP}=2S_{\triangle OAB}=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot OM=2\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=10.
(Площадь треугольника ABP
можно вычислить и так. Пусть K
и L
— точки касания вписанной в трапецию окружности с основаниями BC
и AD
соответственно. Тогда K
и L
— середины оснований, прямоугольные треугольники POL
и BOK
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому треугольник ABP
равновелик прямоугольной трапеции ABKL
. Следовательно,
S_{\triangle ABP}=\frac{BK+AL}{2}\cdot h=\frac{1+4}{2}\cdot4=10).
Поскольку трапеция равнобедренная, для прямой, проходящей через вершину C
, получим тот же результат.
Пусть теперь указанная прямая проходит через вершину A
(рис. 2), пересекает боковую сторону CD
в точке Q
, а продолжение основания BC
— в точке E
. Треугольник ABE
— равнобедренный (\angle AEB=\angle DAE=\angle BAE
), поэтому
BE=AB=5,~CE=BE-BC=AB-BC=5-2=3.
Треугольник AQD
подобен треугольнику EQC
с коэффициентом \frac{AD}{CE}=\frac{8}{3}
, значит, если QH
— высота треугольника AQD
, то
QH=\frac{8}{11}h=\frac{8}{11}\cdot4=\frac{32}{11}.
Следовательно,
S_{\triangle AQD}=\frac{1}{2}AD\cdot QH=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{32}{11}=\frac{128}{11}.
Тот же результат для прямой, проходящей через вершину D
.