4915. Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 18. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
Ответ. \frac{1}{2}
или \frac{162}{299}
.
Решение. Пусть окружность радиуса R
с центром O
, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
, касается боковой стороны AB
в точке M
, причём R=6
и AD=18
. Тогда OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла AOB
, поэтому
BM=\frac{OM^{2}}{AM}=\frac{R^{2}}{\frac{1}{2}AD}=\frac{36}{9}=4,~BC=2BM=8.
Пусть прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через вершину B
и пересекает основание AD
трапеции в точке P
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \angle APB=\angle CBP=\angle ABP
, значит, треугольник ABP
— равнобедренный, AP=AB=13
, поэтому
S_{\triangle ABP}=2S_{\triangle OAB}=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot OM=2\cdot\frac{1}{2}\cdot13\cdot6=78.
Если S
— площадь трапеции ABCD
, h
— высота трапеции, то
S=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}\cdot(18+8)\cdot2R=13\cdot12=156.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABP}}{S}=\frac{78}{156}=\frac{1}{2}.
(Искомое отношение можно вычислить и так. Пусть K
и L
— точки касания вписанной в трапецию окружности с основаниями BC
и AD
соответственно. Тогда K
и L
— середины оснований, прямоугольные треугольники POL
и BOK
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому треугольник ABP
равновелик прямоугольной трапеции ABKL
. Следовательно, S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}S_{ABCD})
.
Поскольку трапеция равнобедренная, для прямой, проходящей через вершину C
, получим тот же результат.
Пусть теперь указанная прямая проходит через вершину A
(рис. 2), пересекает боковую сторону CD
в точке Q
, а продолжение основания BC
— в точке E
. Треугольник ABE
— равнобедренный (\angle AEB=\angle DAE=\angle BAE
), поэтому
BE=AB=13,~CE=BE-BC=AB-BC=13-8=5.
Треугольник AQD
подобен треугольнику EQC
с коэффициентом \frac{AD}{CE}=\frac{18}{5}
, значит, если QH
— высота треугольника AQD
, то
QH=\frac{18}{23}h=\frac{18}{23}\cdot12=\frac{216}{23},~S_{\triangle AQD}=\frac{1}{2}AD\cdot QH=\frac{1}{2}\cdot18\cdot\frac{216}{23}=\frac{9\cdot216}{23}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AQD}}{S}=\frac{\frac{9\cdot216}{23}}{12\cdot13}=\frac{162}{299}.
Тот же результат для прямой, проходящей через вершину D
.