4917. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
Ответ. \frac{1}{2}
или \frac{625}{1122}
.
Решение. Пусть окружность радиуса R
с центром O
, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями BC=18
и AD=50
, касается боковой стороны AB
в точке M
, а оснований AD
и BC
— в точках K
и L
соответственно. Тогда
BM=BL=\frac{1}{2}BC=9,~AM=AK=\frac{1}{2}AD=25,~AB=AM+BM=25+9=34.
Отрезок OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла AOB
, поэтому R=OM=\sqrt{AM\cdot BM}=\sqrt{25\cdot9}=15.
Пусть прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через вершину B
и пересекает основание AD
трапеции в точке P
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \angle APB=\angle CBP=\angle ABP
, значит, треугольник ABP
— равнобедренный, AP=AB=34
. Следовательно,
S_{\triangle ABP}=2S_{\triangle OAB}=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot OM=2\cdot\frac{1}{2}\cdot34\cdot15=510.
Если S
— площадь трапеции ABCD
, а h
— её высота, то h=2R=30
,
S=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}(18+50)\cdot30=34\cdot30=1020.
Следовательно, \frac{S_{\triangle ABP}}{S}=\frac{510}{1020}=\frac{1}{2}.
(Искомое отношение можно вычислить и так. Пусть K
и L
— точки касания вписанной в трапецию окружности с основаниями BC
и AD
соответственно. Тогда K
и L
— середины оснований, прямоугольные треугольники POL
и BOK
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому треугольник ABP
равновелик прямоугольной трапеции ABKL
. Следовательно, S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}S_{ABCD})
.
Поскольку трапеция равнобедренная, для прямой, проходящей через вершину C
, получим тот же результат.
Пусть теперь указанная прямая проходит через вершину A
(рис. 2), пересекает боковую сторону CD
в точке Q
, а продолжение основания BC
— в точке E
. Треугольник ABE
— равнобедренный (\angle AEB=\angle DAE=\angle BAE
), поэтому
BE=AB=34,~CE=BE-BC=AB-BC=34-18=16.
Треугольник AQD
подобен треугольнику EQC
с коэффициентом \frac{AD}{CE}=\frac{50}{16}=\frac{25}{8}
, значит, если QH
— высота треугольника AQD
, то
QH=\frac{25}{33}h=\frac{25}{33}\cdot30=\frac{250}{11},~S_{\triangle AQD}=\frac{1}{2}AD\cdot QH=\frac{1}{2}\cdot50\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{11}.
Следовательно, \frac{S_{\triangle AQD}}{S}=\frac{\frac{6250}{11}}{1020}=\frac{625}{1122}.
Тот же результат для прямой, проходящей через вершину D
.