4919. Дан прямоугольник ABCD
со сторонами AB=9
, BC=12
и окружность S
радиуса 2 с центром O
на стороне AB
, проходящая через вершину A
. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S
, содержащейся внутри прямоугольника и касающейся двух его соседних сторон.
Ответ. 3.
Решение. Пусть Q
— центр искомой окружности, r
— её радиус, M
и N
— точки её касания со сторонами AB
и BC
соответственно (рис. 1), P
— точка касания с окружностью S
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому OQ=OP+QP=2+r
. Четырёхугольник QMBN
— квадрат, поэтому MB=ON=r
, AM=AB-MB-OA=9-r-2=7-r
. По теореме Пифагора OQ^{2}=QM^{2}+OM^{2}
, или
(2+r)^{2}=r^{2}+(7-r)^{2},~r^{2}-18r+45=0,
откуда находим, что r=3
или r=15
. Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как диаметр искомой окружности не может быть больше стороны прямоугольника.
Пусть искомая окружность касается сторон BC
и CD
прямоугольника в точках K
и L
соответственно (рис. 2), H
— проекция точки Q
на AB
. Тогда CKQL
— квадрат со стороной r
, поэтому
QH=BK=BC-KC=BC-QL=12-r,~OH=|AB-OA-BH|=|9-2-r|=|7-r|.
По теореме Пифагора OQ^{2}=QH^{2}+OH^{2}
, или
(2+r)^{2}=(12-r)^{2}+(7-r)^{2},~r^{2}-42r+189=0,
откуда находим, что r=21+6\sqrt{7}
или r=21-6\sqrt{7}
. Оба корня не удовлетворяет условию задачи, так как диаметр искомой окружности не может быть больше стороны прямоугольника, а 2r=42\pm12\sqrt{7}\gt9
.
Пусть искомая окружность касается сторон AB
и AD
прямоугольника в точках E
и F
соответственно (рис. 3). Тогда AFQE
— квадрат со стороной r
,
OE=AE-OA=QF-OA=r-2.
По теореме Пифагора OQ^{2}=OE^{2}+QE^{2}
, или
(2+r)^{2}=(r-2)^{2}+r^{2},~r^{2}-8r=0,
Ни один из корней этого уравнения не удовлетворяет условию задачи.
Пусть искомая окружность касается сторон AD
и CD
прямоугольника в точках X
и Y
соответственно (рис. 4), T
— проекция точки Q
на AB
. Тогда DXQY
— квадрат со стороной r
, поэтому
QT=AX=AD-DX=AD-QY=12-r,~OT=AT-OA=QX-OA=r-2.
По теореме Пифагора OQ^{2}=OT^{2}+QT^{2}
, или
(2+r)^{2}=(r-2)^{2}+(12-r)^{2},~r^{2}-32r+144=0,
откуда находим, что r=16+4\sqrt{7}
или r=16-4\sqrt{7}
. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию задачи, так как 2r=32\pm8\sqrt{7}\gt9
.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет только r=3
.