4920. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=10
, AC=8
и BC=6
. На стороне BC
взята точка D
, а на отрезке AD
— точка O
, причём CD=2
и AO=3OD
. Окружность с центром O
проходит через точку C
. Найдите расстояние от точки C
до точки пересечения этой окружности с прямой AB
.
Ответ. 5 или 4,8.
Решение. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой CO
, а M
— точка пересечения AB
и CT
. Треугольник AOT
подобен треугольнику DOC
с коэффициентом \frac{AO}{OD}=3
, поэтому AT=3CD=6
, значит, треугольник AMT
равен треугольнику BMC
по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M
— середина стороны AB
. Следовательно, CM
— медиана треугольника ABC
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть Q
— точка её пересечения с прямой AO
. Треугольник CDQ
подобен треугольнику ADB
с коэффициентом \frac{CD}{DB}=\frac{1}{2}
, поэтому CQ=\frac{1}{2}AB=5=AM
. Тогда треугольники AMO
и QCO
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, O
— середина CM
и CM=5
.
Окружность с центром O
проходит через точку C
, а так как OM=OC
, то CM=5
— диаметр этой окружности. Если N
— вторая точка пересечения окружности с прямой AB
, то CN\perp AB
, т. е. CN
— высота треугольника ABC
, а так как этот треугольник прямоугольный (AC^{2}+BC^{2}=64+36=100=AB^{2})
, то
CN=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4{,}8.