4921. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы вневписанных окружностей равнобедренного треугольника равны 3 и 21. Найдите расстояние между их центрами.
Ответ. 32
или \frac{32\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r_{c}
с центром O_{c}
касается боковой стороны AB
равнобедренного треугольника ABC
в точке T
, продолжения основания BC
в точке M
, продолжения боковой стороны AC
— в точке N
, а окружность радиуса r_{a}
с центром O_{a}
касается основания BC
в точке K
и продолжения боковых сторон AB
и AC
— в точках P
и Q
соответственно. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, точка K
— середина основания BC
.
Рассмотрим случай, когда r_{c}=21
, r_{a}=3
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, значит, луч AO_{c}
— биссектриса угла BAN
, а так как AK
— биссектриса угла BAC
, то \angle O_{c}AK=90^{\circ}
. В четырёхугольнике O_{c}AKM
углы при вершинах A
, K
и M
— прямые, значит, это прямоугольник, поэтому AK=O_{c}M=r_{c}=21
.
Из прямоугольного треугольника APO_{a}
находим, что
AP=\sqrt{AO_{a}^{2}-O_{a}P^{2}}=\sqrt{24^{2}-3^{2}}=9\sqrt{7}.
Обозначим BK=CK=x
. Прямоугольные треугольники AKB
и APO_{a}
подобны по двум углам, поэтому \frac{BK}{AK}=\frac{PO_{a}}{AP}
, или \frac{x}{21}=\frac{3}{9\sqrt{7}}
, откуда x=\sqrt{7}
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что CM=CB+BM=CB+BT
и CN=CA+AN=CA+AT
, поэтому
CM+CN=CB+BT+CA+AN=CB+CA+(BT+AT)=CB+CA+AB=2p,
а так как CM=CN
, то CM=p
. Аналогично, AP=p
. Тогда
AO_{c}=KM=CM-CK=AP-CK=9\sqrt{7}-\sqrt{7}=8\sqrt{7}.
Следовательно,
O_{a}O_{c}=\sqrt{AO_{a}^{2}+AO_{c}^{2}}=\sqrt{24^{2}+(8\sqrt{7})^{2}}=32.
Пусть теперь r_{c}=3
, r_{a}=21
(рис. 2). Аналогично предыдущему находим, что
AK=3,~AP=\sqrt{15},~BK=CK=\frac{7\sqrt{15}}{5},
AO_{c}=KM=CM-CK=AP-CK=3\sqrt{15}-\frac{7\sqrt{15}}{5}=\frac{8\sqrt{15}}{5},
O_{a}O_{c}=\sqrt{AO_{a}^{2}+AO_{c}^{2}}=\sqrt{24^{2}+\left(\frac{8\sqrt{15}}{5}\right)^{2}}=\frac{32\sqrt{15}}{5}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011