4922. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.
Ответ. 10
или 8\sqrt{2}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=b
, BC=a
и гипотенузой AB=c
. Пусть окружность с центром O_{c}
радиуса r_{c}
касается гипотенузы в точке T
, продолжений катетов BC
и AC
— в точках M
и N
соответственно, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что CM=CB+BM=CB+BT
и CN=CA+AN=CA+AT
, поэтому
CM+CN=CB+BT+CA+AN=CB+CA+(BT+AT)=CB+CA+AB=a+b+c=2p,
а так как CM=CN
, то CM=p
. Аналогично, AQ=AP=p
. Четырёхугольники AO_{c}MC
и KO_{a}QC
— квадраты, поэтому
r_{c}=O_{c}M=CM=p,~r_{a}=CQ=AQ-AC=p-b,
значит, r_{a}\lt r_{c}
. Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника не может быть равен 1.
Таким образом, возможны только такие случаи: либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 7, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 1, либо радиусы окружностей, касающихся катетов равны 1 и 7.
Предположим, что r_{c}=7
и r_{a}=1
(рис. 1). Опустим перпендикуляр O_{a}F
из центра меньшей окружности на O_{c}N
. Тогда
O_{a}F=QN=QC+CN=O_{a}K+O_{c}M=r_{a}+r_{c}=1+7=8,
O_{c}F=MK=CM-CK=r_{c}-r_{a}=7-1=6.
Следовательно,
O_{a}O_{c}=\sqrt{O_{a}F^{2}+O_{c}F^{2}}=\sqrt{64+36}=10.
Пусть теперь r_{b}=7
и r_{a}=1
(рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O_{a}
, C
и O_{b}
лежат на одной прямой. Следовательно
O_{a}O_{b}=O_{a}C+CO_{b}=r_{a}\sqrt{2}+r_{b}\sqrt{2}=\sqrt{2}+7\sqrt{2}=8\sqrt{2}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011