4924. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы вневписанных окружностей равнобедренного треугольника равны 8 и 12. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 48
или \frac{96\sqrt{21}}{7}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r_{c}
с центром O_{c}
касается боковой стороны AB
равнобедренного треугольника ABC
в точке T
, продолжения основания BC
в точке M
, продолжения боковой стороны AC
— в точке N
, а окружность радиуса r_{a}
с центром O_{a}
касается основания BC
в точке K
и продолжения боковых сторон AB
и AC
— в точках P
и Q
соответственно. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, точка K
— середина основания BC
.
Рассмотрим случай, когда r_{c}=8
, r_{a}=12
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, значит, луч AO_{c}
— биссектриса угла BAN
, а так как AK
— биссектриса угла BAC
, то \angle O_{c}AK=90^{\circ}
. В четырёхугольнике O_{c}AKM
углы при вершинах A
, K
и M
— прямые, значит, это прямоугольник, поэтому AK=O_{c}M=r_{c}=8
.
Из прямоугольного треугольника APO_{a}
находим, что
AP=\sqrt{AO_{a}^{2}-O_{a}P^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16.
Обозначим BK=CK=x
. Прямоугольные треугольники AKB
и APO_{a}
подобны по двум углам, поэтому \frac{BK}{AK}=\frac{PO_{a}}{AP}
, или \frac{x}{8}=\frac{12}{16}
, откуда x=6
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=BK\cdot AK=6\cdot8=48.
Пусть теперь r_{c}=12
, r_{a}=8
(рис. 2). Аналогично предыдущему находим, что
AK=12,~AP=\sqrt{20^{2}-8^{2}}=4\sqrt{21},~CK=BK=\frac{24}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{21}}{7}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=BK\cdot AK=\frac{8\sqrt{21}}{7}\cdot12=\frac{96\sqrt{21}}{7}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011