4926. На окружности радиуса 20 с центром в вершине C
треугольника ABC
взята точка P
. Известно, что AB=25
, AC=15
, BC=20
, а треугольники APC
и BPC
равновелики. Найдите расстояние от точки P
до прямой AB
, если известно, что оно меньше 25.
Ответ. 12
или 7{,}2
.
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный, так как AC^{2}+BC^{2}=15^{2}+20^{2}=25^{2}=AB^{2}
. Пусть CH
и CM
—соответственно высота и медиана треугольника ABC
, проведённые из вершины прямого угла C
. Тогда
CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{15\cdot20}{25}=12,~CM=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}.
Треугольники APC
и BPC
равновелики, поэтому их высоты, опущенные на общую сторону CP
, равны. Тогда, если точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой CP
(рис. 1), то CP\parallel AB
, значит, расстояние от точки P
до прямой AB
равно высоте треугольника ABC
, опущенной на сторону AB
, т. е. 12.
Если же точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой CP
, то расстояния от точек A
и B
до прямой CP
равны, поэтому точка P
лежит на прямой CM
. Пусть при этом точка P
расположена на луче AM
(рис. 2). Тогда, так как CP=20\gt CM
, то точка P
расположена на продолжении медианы CM
за точку M
, поэтому PM=CP-CM=20-\frac{25}{2}=\frac{15}{2}
.
Пусть K
— проекция точки P
на прямую AB
. Обозначим, \angle ABC=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25},
а так как AMC
— внешний угол равнобедренного треугольника BMC
, то \angle PMK=\angle AMC=2\alpha
. Следовательно,
PK=PM\sin2\alpha=\frac{15}{2}\cdot\frac{24}{25}=\frac{36}{5}=7{,}2.
Если же точка P
лежит на продолжении медианы CP
за вершину C
(рис. 3), то аналогично получим, что
PK=PM\sin2\alpha=(CM+CP)\sin2\alpha=\left(20+\frac{25}{2}\right)\cdot\frac{24}{25}=31{,}2\gt25,
что невозможно по условию.