4927. На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла A
прямоугольного треугольника ABC
взята точка P
. Известно, что AC=3
, BC=8
, а треугольники APC
и APB
равновелики. Найдите расстояние от точки P
до прямой BC
, если известно, что оно больше 2.
Ответ. 3
или 4{,}8
.
Решение. Пусть AM
— медиана треугольника ABC
. Тогда
AM=\sqrt{AC^{2}+MC^{2}}=\sqrt{9+16}=5.
Треугольники APC
и APB
равновелики, поэтому их высоты, опущенные на общую сторону AP
, равны. Тогда, если точки B
и C
лежат по одну сторону от прямой AP
(рис. 1), то AP\parallel BC
, значит, расстояние от точки P
до прямой BC
равно высоте треугольника ABC
, опущенной на сторону AB
, т. е. катету AC=3
.
Если же точки B
и C
лежат по разные стороны от прямой AP
, то расстояния от точек B
и C
до прямой AP
равны, поэтому точка P
лежит на прямой AM
. Пусть при этом точка P
расположена на луче AM
(рис. 2). Тогда, так как AP=3\lt AM
, то точка P
расположена на отрезке AM
, поэтому PM=AM-AP=5-3=2
Пусть K
— проекция точки P
на прямую BC
. Обозначим, \angle AMC=\alpha
. Тогда \sin\alpha=\frac{AC}{AM}=\frac{3}{5}
. Следовательно,
PK=PM\sin\alpha=2\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{5},
что невозможно по условию задачи.
Если же точка P
лежит на продолжении медианы AP
за вершину A
(рис. 3), то аналогично получим, что
PK=PM\sin\alpha=(AM+AP)\sin\alpha=(5+3)\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}=4{,}8\gt2.