4928. На окружности радиуса 5 с центром в вершине C
равнобедренного треугольника ABC
взята точка P
. Известно, что \cos C=-\frac{7}{25}
, AB=16
, а треугольники APC
и BPC
равновелики. Найдите расстояние от точки P
до прямой AB
, если известно, что оно больше 5,5.
Ответ. 6
или 11
.
Решение. Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle ACH=\frac{\alpha}{2},~\cos\alpha=-\frac{7}{25},~\sin\alpha=\frac{24}{25},~
\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}=\frac{3}{4},~CH=AH\ctg\frac{\alpha}{2}=8\cdot\frac{3}{4}=6.
Треугольники APC
и BPC
равновелики, поэтому их высоты, опущенные на общую сторону CP
, равны. Тогда, если точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой CP
(рис. 1), то CP\parallel AB
, значит, расстояние от точки P
до прямой AB
равно высоте CH
треугольника ABC
, опущенной на сторону AB
, т. е. 6.
Пусть теперь точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой CP
. Тогда расстояния от точек A
и B
до прямой CP
равны, поэтому точка P
лежит на прямой AH
. Если при этом точка P
лежит на луче CH
(рис. 2), то расстояние от точки P
до прямой AB
равно CH-CP=6-5=1\lt5{,}5
, что невозможно по условию.
Если же точка P
лежит на продолжении медианы CH
за вершину C
(рис. 3), то расстояние от неё до прямой AB
равно CH+CP=6+5=11\gt5{,}5
.