4929. Окружность радиуса 6\frac{2}{9}
вписана в четырёхугольник ABCD
с диагоналями AC=21
и BD=16
. Известно, что AB=AD
. Найдите площадь треугольника ABD
.
Ответ. 120
или 48
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
— описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. AB+CD=AD+BC
, а так как AB=AD
, то CD=BC
. Точки A
и C
равноудалены от концов отрезка BD
, поэтому AC
— серединный перпендикуляр к отрезку BD
, следовательно, AC\perp BD
и точка M
пересечения диагоналей четырёхугольника — середина диагонали BD
. Кроме того, AC
— биссектриса углов при вершинах A
и C
четырёхугольника, поэтому центр O
вписанной в него окружности лежит на диагонали AC
.
В треугольнике ABC
известно, что AC=21
, высота BM=8
, а радиус окружности с центром O
на стороне AC
, касающейся сторон AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно, равен 6\frac{2}{9}=\frac{56}{9}
.
Обозначим AB=x
, BC=y
. Тогда
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}x\cdot\frac{56}{9}=\frac{28}{9}x,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}y\cdot\frac{56}{9}=\frac{28}{9}y,
а так как S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=S_{\triangle ABC}
и S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot21\cdot8=84
, то \frac{28}{9}x+\frac{28}{9}y=84
, откуда находим, что x+y=27
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{x+y+21}{2}=\frac{27+21}{2}=24,
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)}=\sqrt{24\cdot3(24-x)(24-y)},
а так как S_{\triangle ABC}=84
, то получаем уравнение \sqrt{24\cdot3(24-x)(24-y)}=84
, из которого находим, что xy=170
.
Из системы \syst{x+y=27\\xy=170\\}
находим, что x=17
, y=10
или x=10
, y=17
.
В первом из этих случаев
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{x^{2}-BM^{2}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15,
следовательно,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot16\cdot15=120.
Во втором случае
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{100-64}=6,
следовательно,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot16\cdot6=48.