4930. Окружность радиуса 8 вписана в четырёхугольник KLMN
с диагоналями KM=17
и LN=48
. Известно, что LM=MN
. Найдите площадь треугольника KLN
.
Ответ. 168
или 240
.
Решение. Четырёхугольник KLMN
— описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. KL+MN=KN+LM
, а так как LM=MN
, то KL=KN
. Точки K
и M
равноудалены от концов отрезка LN
, поэтому KM
— серединный перпендикуляр отрезка LN
, следовательно, LN\perp KM
и точка H
пересечения диагоналей четырёхугольника — середина диагонали LN
. Кроме того, KM
— биссектриса углов при вершинах K
и M
четырёхугольника, поэтому центр O
вписанной в него окружности лежит на диагонали KM
.
В треугольнике KLM
известно, что KM=17
, высота LH=24
, а радиус окружности с центром O
на стороне KM
, касающейся сторон KL
и LM
в точках A
и B
соответственно, равен 8.
Обозначим KL=x
, LM=y
. Тогда
S_{\triangle KOL}=\frac{1}{2}KL\cdot OA=\frac{1}{2}x\cdot8=4x,
S_{\triangle MOL}=\frac{1}{2}LM\cdot OB=\frac{1}{2}y\cdot8=4y,
а так как S_{\triangle KOL}+S_{\triangle MOL}=S_{\triangle KLM}
и S_{\triangle KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot LH=\frac{1}{2}\cdot17\cdot24=204
, то 4x+4y=204
, откуда находим, что x+y=51
.
Пусть p
— полупериметр треугольника KLM
. Тогда
p=\frac{KL+LM+KM}{2}=\frac{x+y+17}{2}=\frac{51+17}{2}=34,
S_{\triangle KLM}=\sqrt{p(p-KM)(p-KL)(p-LM)}=\sqrt{34\cdot17(34-x)(34-y)},
а так как S_{\triangle ABC}=204
, то получаем уравнение \sqrt{34\cdot17(34-x)(34-y)}=204
из которого находим, что xy=650
.
Из системы \syst{x+y=51\\xy=650\\}
находим, что x=25
, y=26
или x=26
, y=25
.
В первом из этих случаев
AM=\sqrt{KL^{2}-LH^{2}}=\sqrt{x^{2}-LH^{2}}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7,
следовательно,
S_{\triangle KLN}=\frac{1}{2}LN\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot48\cdot7=168.
Во втором случае
AM=\sqrt{KL^{2}-LH^{2}}=\sqrt{676-576}=10,
следовательно,
S_{\triangle KLN}=\frac{1}{2}LN\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot48\cdot10=240.