4931. Окружность радиуса 13\frac{1}{3}
вписана в четырёхугольник ABCD
с диагоналями AC=36
и BD=40
. Известно, что AB=AD
. Найдите площадь треугольника BCD
.
Ответ. 300
или 420
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
— описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. AB+CD=AD+BC
, а так как AB=AD
, то CD=BC
. Точки A
и C
равноудалены от концов отрезка BD
, поэтому AC
— серединный перпендикуляр отрезка BD
, следовательно, AC\perp BD
и точка P
пересечения диагоналей четырёхугольника — середина диагонали BD
. Кроме того, AC
— биссектриса углов при вершинах A
и C
четырёхугольника, поэтому центр O
вписанной в него окружности лежит на диагонали AC
.
В треугольнике ABC
известно, что AC=36
, высота BP=20
, а радиус окружности с центром O
на стороне AC
, касающейся сторон AB
и BC
в точках K
и L
соответственно, равен 13\frac{1}{3}=\frac{40}{3}
.
Обозначим AB=x
, BC=y
. Тогда
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OK=\frac{1}{2}x\cdot\frac{40}{3}=\frac{20}{3}x,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OL=\frac{1}{2}y\cdot\frac{40}{3}=\frac{20}{3}y,
а так как S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=S_{\triangle ABC}
и S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot36\cdot20=360
, то \frac{20}{3}x+\frac{20}{3}y=360
, откуда находим, что x+y=54
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{x+y+36}{2}=\frac{54+36}{2}=45,
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)}=\sqrt{45\cdot9(45-x)(45-y)},
а так как S_{\triangle ABC}=360
, то получаем уравнение \sqrt{45\cdot9(45-x)(45-y)}=360
из которого находим, что xy=725=29\cdot25
.
Из системы \syst{x+y=54\\xy=29\cdot25\\}
находим, что x=29
, y=25
или x=25
, y=29
.
В первом из этих случаев
CP=\sqrt{BC^{2}-BP^{2}}=\sqrt{y^{2}-BP^{2}}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15,
следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot40\cdot15=300.
Во втором случае
CP=\sqrt{BC^{2}-BP^{2}}=\sqrt{29^{2}-20^{2}}=\sqrt{841-400}=\sqrt{441}=21,
следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot40\cdot21=420.