4932. Окружность радиуса 10 вписана в четырёхугольник PQRS
с диагоналями PR=28
и QS=30
. Известно, что QR=RS
. Найдите площадь треугольника QRS
.
Ответ. 120
или 300
.
Решение. Четырёхугольник PQRS
— описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. PQ+RS=PS+QR
, а так как QR=RS
, то PQ=PS
. Точки P
и R
равноудалены от концов отрезка QS
, поэтому PR
— серединный перпендикуляр отрезка QS
, следовательно, PR\perp QS
и точка A
пересечения диагоналей четырёхугольника — середина диагонали QS
. Кроме того, PR
— биссектриса углов при вершинах P
и R
четырёхугольника, поэтому центр O
вписанной в него окружности лежит на диагонали PR
.
В треугольнике PQR
известно, что PR=28
, высота QA=15
, а радиус окружности с центром O
на стороне PR
, касающейся сторон PQ
и QR
в точках M
и N
соответственно, равен 10.
Обозначим PQ=x
, QR=y
. Тогда
S_{\triangle POQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot OM=\frac{1}{2}x\cdot10=5x,
S_{\triangle QOR}=\frac{1}{2}QR\cdot ON=\frac{1}{2}y\cdot10=5y,
а так как S_{\triangle POQ}+S_{\triangle QOR}=S_{\triangle PQR}
и S_{\triangle PQR}=\frac{1}{2}PR\cdot QA=\frac{1}{2}\cdot28\cdot15=210
, то 5x+5y=210
, откуда находим, что x+y=42
.
Пусть p
— полупериметр треугольника PQR
. Тогда
p=\frac{PQ+QR+PR}{2}=\frac{x+y+28}{2}=\frac{42+28}{2}=35,
S_{\triangle PQR}=\sqrt{p(p-PR)(p-PQ)(p-QR)}=\sqrt{35\cdot7(35-x)(35-y)},
а так как S_{\triangle PQR}=210
, то получаем уравнение \sqrt{35\cdot7(35-x)(35-y)}=210
из которого находим, что xy=425=25\cdot17
.
Из системы \syst{x+y=42\\xy=25\cdot17\\}
находим, что x=25
, y=17
или x=17
, y=25
.
В первом из этих случаев
AR=\sqrt{QR^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{y^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8,
следовательно,
S_{\triangle QRS}=\frac{1}{2}QS\cdot AR=\frac{1}{2}\cdot30\cdot8=120.
Во втором случае
AR=\sqrt{QR^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20,
следовательно,
S_{\triangle QRS}=\frac{1}{2}PR\cdot AR=\frac{1}{2}\cdot30\cdot20=300.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011