4933. Дан параллелограмм ABCD
. На прямой CD
взята точка M
. Известно, что CM:MD=1:3
. В каком отношении прямая AM
делит площадь треугольника BDC
?
Ответ. 9:19
или 4:11
.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает диагональ BD
параллелограмма в точке K
.
Предположим, что точка M
лежит на отрезке CD
(рис. 1). Из подобия треугольников ABK
и MDK
следует, что \frac{BK}{KD}=\frac{AB}{MD}=\frac{CD}{MD}=\frac{4}{3}
, значит,
\frac{S_{\triangle KDM}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{DK}{DB}\cdot\frac{DM}{DC}=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{28}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle KDM}}{S_{\triangle BDC}-S_{\triangle KDM}}=\frac{9}{19}.
Если же точка M
лежит на продолжении стороны CD
(рис. 2), то прямая AM
пересекает сторону BC
в некоторой точке N
. Из подобия треугольников ABN
и MCN
следует, что \frac{BN}{NC}=\frac{AB}{CM}=\frac{CD}{CM}=2
, а из подобия треугольников AKB
и MKD
— \frac{BK}{KD}=\frac{AB}{DM}=\frac{CD}{DM}=\frac{2}{3}
, значит,
\frac{S_{\triangle KBN}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{BK}{BD}\cdot\frac{BN}{BC}=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{15}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle KBN}}{S_{\triangle BDC}-S_{\triangle KBN}}=\frac{4}{11}.