4934. Дан равносторонний треугольник ABC
со стороной a
. Через точку M
стороны AB
параллельно сторонам AC
и BC
проведены прямые, пересекающие эти стороны соответственно в точках K
и L
. Найдите площадь треугольника KLM
, если KL=d
.
Ответ. \frac{(a^{2}-d^{2})\sqrt{3}}{12}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AM=x
. Треугольники AKM
и BLM
— равносторонние, поэтому KM=AM=x
и LM=BM=a=x
. Кроме того, \angle KML=60^{\circ}
. По теореме косинусов
KL^{2}=KM^{2}+LM^{2}-2KM\cdot LM\cos60^{\circ},
или
d^{2}=x^{2}+(a-x)^{2}-2x(a-x)\cdot\frac{1}{2}=
=x^{2}+(a-x)^{2}-x(a-x)=3x^{2}-3x(a-x).
Отсюда находим, что x(a-x)=\frac{d^{2}-a^{2}}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot KL\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}x(x-a)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}-d^{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{(a^{2}-d^{2})\sqrt{3}}{12}.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 207, с. 34