4938. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник. Обозначим через P
, Q
и R
основания перпендикуляров, опущенных из точки D
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что PQ=QR
тогда и только тогда, когда биссектрисы углов ABC
и ADC
пересекаются на прямой AC
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок CD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CD
. По теореме синусов PQ=CD\sin\angle PCQ
. Аналогично QR=AD\sin\angle RAQ
. Кроме того, углы PCQ
и BCA
либо равны либо составляют в сумме 180^{\circ}
, поэтому \sin\angle PCQ=\sin\angle BCA
. Аналогично, \sin\angle RAQ=\sin\angle BAC
.
Применив теорему синусов к треугольнику ABC
, получим, что \frac{AB}{BC}=\frac{\sin\angle BCA}{\sin\angle BAC}
, значит,
\frac{PQ}{QR}=\frac{CD\sin\angle PCQ}{AD\sin\angle RAQ}=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{\sin\angle PCQ}{\sin\angle RAQ}=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{\sin\angle BCA}{\sin\angle BAC}=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{AB}{BC}.
Следовательно, равенство PQ=QR
равносильно равенству \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}
.
Пусть BL
и DM
— биссектрисы треугольников ABC
и ADC
. Тогда \frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}
и \frac{AD}{CD}=\frac{AM}{MC}
. Значит,
PQ=QR~\Leftrightarrow~\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}~\Leftrightarrow~\frac{AL}{LC}=\frac{AM}{MC}.
Последнее равенство равносильно тому, что точки L
и M
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Условие того, что четырёхугольник вписанный, — лишнее.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2003, Финляндия
Источник: Агаханов Н. Х., Кожевников П. А., Терёшин Д. А. Математика. Международные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — № 03.4, с. 40
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 8, задача G1, с. 478