4940. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника. Докажите, что
\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin^{2}\frac{\beta}{2}+\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=1-2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}.
Решение. \sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin^{2}\frac{\beta}{2}+\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=1-2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+2\sin^{2}\frac{\beta}{2}+2\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=2-4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~1-\cos\alpha+1-\cos\beta+1-\cos\gamma=2-2\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\frac{\alpha+\beta}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~3-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma=2-2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}+1~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\cos\alpha+\cos\beta-\cos(180^{\circ}-\gamma)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma.