4944. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из какой-либо вершины вписанного в окружность четырёхугольника к двум его сторонам, не зависит от выбора вершины.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
, E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из вершины A
на прямые BC
и CD
соответственно. Тогда точки E
и F
лежат на окружности с диаметром AC
. Обозначим, \angle BAD=\alpha
. Тогда \angle BCD=180^{\circ}-\alpha
. По теореме синусов EF=AC\sin(180^{\circ}-\alpha)=AC\sin\alpha
.
Пусть G
и H
— основания перпендикуляров, опущенных из вершины C
на прямые AB
и AD
соответственно. Тогда точки G
и H
также лежат на окружности с диаметром AC
. Поэтому GH=AC\sin\alpha=EF
.
Аналогично расстояние между основаниями P
и Q
перпендикуляров, опущенных из вершины B
на прямые AD
и CD
равно расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных из вершины D
на прямые AB
и BC
.
Докажем теперь, что PQ=GH
. Обозначим \angle ADC=\beta
. Тогда
PQ=BD\sin\beta=BD\cdot\frac{AC}{2R}=\frac{BD\cdot AC}{2R}.
С другой стороны
GH=AC\sin\alpha=AC\cdot\frac{BD}{2R}=\frac{AC\cdot BD}{2R}=PQ.
Что и требовалось доказать.