4951. Выпуклый пятиугольник ABCDE
вписан в окружность. Известно, что длины сторон AB
, BC
, CD
, DE
равны \frac{3\sqrt{3}}{2}
, \frac{\sqrt{57}}{2}
, \frac{\sqrt{19}}{2}
, \sqrt{3}
соответственно. Диагональ CA
параллельна стороне DE
, величина угла между диагоналями CA
и CE
равна \frac{\pi}{6}
. Найдите площадь пятиугольника ABCDE
.
Ответ. \frac{47\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Хорды AE
и CD
заключены между параллельными хордами AC
и DE
, поэтому AE=CD=\frac{\sqrt{19}}{2}
, значит, ACDE
— равнобедренная трапеция.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около данного пятиугольника. Тогда
R=\frac{AE}{2\sin\angle ACE}=\frac{\frac{\sqrt{19}}{2}}{2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}.
Обозначим
\angle DCE=\angle DAE=\alpha,~\angle BAC=\beta,~\angle AED=\gamma,~\angle AEC=\varphi.
По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{DE}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}},
а так как DE=\sqrt{3}\lt\frac{\sqrt{19}}{2}=AE
, то \alpha\lt90^{\circ}
, поэтому
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{4}{\sqrt{19}}.
Тогда
\sin\gamma=\sin(180^{\circ}-30^{\circ}-\alpha)=\sin(30^{\circ}+\alpha)=\sin30^{\circ}\cos\alpha+\cos30^{\circ}\sin\alpha=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{19}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{7}{2\sqrt{19}},
\cos\gamma=\cos(180^{\circ}-30^{\circ}-\alpha)=-\cos(30^{\circ}+\alpha)=-\cos30^{\circ}\cos\alpha+\sin30^{\circ}\sin\alpha=
=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{19}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}},
\tg\gamma=\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}=-\frac{7}{3\sqrt{3}},
\sin\angle AEC=\sin(\gamma-30^{\circ})=\sin\gamma\cos30^{\circ}-\cos\gamma\sin30^{\circ}=
=\frac{7}{2\sqrt{19}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}.
По теореме синусов
AC=2R\sin\gamma=\sqrt{19}\cdot\frac{7}{2\sqrt{19}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
Пусть DH
— высота равнобедренной трапеции ACDE
. Тогда
CH=\frac{1}{2}(AC-DE)=\frac{1}{2}\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
DH=CH\tg\angle ACD=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\tg(180^{\circ}-\gamma)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\tg\gamma=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{7}{3\sqrt{3}}=\frac{7}{4}.
Следовательно,
S_{ACDE}=\frac{1}{2}(AC+DE)\cdot DH=\frac{1}{2}\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\frac{7}{4}=\frac{49\sqrt{3}}{16}.
По теореме синусов
\sin\beta=\frac{BC}{2R}=\frac{\frac{\sqrt{57}}{2}}{\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{45\sqrt{3}}{16}.
Следовательно,
S_{ABCDE}=S_{ACDE}+S_{\triangle ABC}=\frac{49\sqrt{3}}{16}+\frac{45\sqrt{3}}{16}=\frac{47\sqrt{3}}{8}.