4953. Квадрат со стороной длины 5 и треугольник, длина наименьшей стороны которого равна 10, имеют общую вершину A
. Величина угла при вершине A
треугольника равна \frac{\pi}{4}
. Каково взаимное расположение этих фигур, при котором площадь общей части максимальна? Найдите эту площадь.
Ответ. 25(2-\sqrt{2})
.
Решение. Все стороны треугольника не меньше 10, поэтому его вершины, отличные от A
, расположены вне квадрата ABCD
. Пусть стороны треугольника, исходящие из вершины A
, пересекают прямые BC
и CD
в точках M
и N
соответственно. Точка N
не может лежать вне отрезка CD
, так как в этом случае площадь общей части треугольника и квадрата будет меньше площади треугольника ABC
. Аналогично, точка M
не может лежать вне отрезка BC
.
Обозначим \angle BAM=\alpha
. Тогда
BM=AB\tg\alpha=5\tg\alpha,~DN=CD\tg(45^{\circ}-\alpha)=5\tg(45^{\circ}-\alpha)=\frac{5(1-\tg\alpha)}{1+\tg\alpha}.
Пусть S_{\triangle ABM}=S_{1}
, S_{\triangle ADN}=S_{2}
, а площадь общей части треугольника и квадрата равна S
. Тогда
S_{1}=\frac{1}{2}BM\cdot AB=\frac{25}{2}\tg\alpha,~S_{2}=\frac{1}{2}DN\cdot AD=\frac{25}{2}\cdot\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha},
S_{1}+S_{2}=\frac{25}{2}\left(\tg\alpha+\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}\right)=\frac{25}{2}\cdot\frac{\tg^{2}\alpha+1}{\tg\alpha+1}=\frac{25}{2}\left(\tg\alpha-1+\frac{2}{\tg\alpha+1}\right)=
=\frac{25}{2}\left(\tg\alpha+1+\frac{2}{\tg\alpha+1}-2\right)\geqslant\frac{25}{2}\left(2\sqrt{(\tg\alpha+1)\cdot\frac{2}{\tg\alpha+1}}-2\right)=\frac{25}{2}(2\sqrt{2}-2)=25(\sqrt{2}-1),
причём равенство достигается в случае, когда \tg\alpha+1=\frac{2}{\tg\alpha+1}
, т. е. когда \tg\alpha=\sqrt{2}-1
, \alpha=22{,}5^{\circ}
.
Следовательно,
S=25-(S_{1}+S_{2})\leqslant25-25(\sqrt{2}-1)=25(2-\sqrt{2}),
причём равенство достигается при \alpha=22{,}5^{\circ}
, т. е. когда лучи AM
и AN
разбивают угол при вершине A
квадрата на четыре равные части.