4956. На медиане AM
треугольника ABC
как на диаметре построена окружность с центром в точке O
, пересекающая сторону AC
в точке D
так, что AC\cdot DC=MB^{2}
. Найдите площадь той части треугольника ABC
, которая лежит внутри данной окружности, если известно, что \angle DOM=4\angle ABM
, а периметр треугольника AOD
равен 9.
Ответ. \frac{9\sqrt{3}}{2}+6\pi
.
Решение. Окружность касается стороны BC
, так как CM^{2}=MB^{2}=AC\cdot DC
, поэтому медиана AM
треугольника ABC
является его высотой, значит, треугольник ABC
— равнобедренный.
Обозначим \angle ACM=\angle ABM=\beta
. Тогда
\angle DOM=4\beta,~\angle OAD=\angle ODA=2\beta.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника AMC
равна 90^{\circ}
, т. е. 2\beta+\beta=90^{\circ}
, откуда находим, что \beta=30^{\circ}
. Тогда \angle OAD=\angle ODA=60^{\circ}
, значит, треугольник AOD
— равносторонний. Его периметр равен 9, поэтому
OD=3,~AM=2OD=6,~S_{\triangle AOD}=\frac{AD^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}.
Пусть S
— площадь сектора ODME
с углом 8\beta=240^{\circ}
между радиусами R=OD=OE=3
. Тогда
S=\frac{2}{3}\pi R^{2}=\frac{2}{3}\cdot9\pi=6\pi.
Следовательно, площадь той части треугольника ABC
, которая лежит внутри данной окружности, равна
2S_{\triangle AOD}+2S=2\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}+6\pi=\frac{9\sqrt{3}}{2}+6\pi.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 2008, № 4, вариант 2