4961. В треугольнике PQR
длина биссектрисы PO
равна 6, отношение длин отрезков QO
и OR
равно 3:4
, периметр треугольника PQR
равен 21. Чему равен косинус угла QPR
?
Ответ. \frac{51}{96}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника \frac{PQ}{PR}=\frac{QO}{OR}=\frac{3}{4}
.
Положим QO=3x
, OR=4x
, PQ=3t
, PR=4t
. Периметр треугольника PQR
равен 21, поэтому 3x+4x+3t+4t=21
, откуда x=3-t
.
Обозначим \angle QPR=\alpha
. Выражая \cos\frac{\alpha}{2}
по теореме косинусов из треугольников PQO
и PRO
, получим уравнение
\frac{9t^{2}+36-9(3-t)}{2\cdot3t\cdot6}=\frac{16t^{2}+36-16(3-t)}{2\cdot4t\cdot6},
Из которого находим, что t=2
. Значит,
PQ=3t=8,~PR=4t=8,~QR=3x=7(3-t)=7.
По теореме косинусов из треугольника PQR
находим, что
\cos\alpha=\frac{PQ^{2}+PR^{2}-QR^{2}}{2PQ\cdot PR}=\frac{36+64-49}{2\cdot6\cdot8}=\frac{51}{96}.