4962. В треугольнике ABC
высота, опущенная на сторону BC
, равна радиусу описанной вокруг данного треугольника окружности. Чему равно произведение синусов углов B
и C
?
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
, R
— радиус описанной окружности. По условию задачи AH=R
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По теореме синусов AB=2R\sin\gamma
.
Предположим, что \beta\lt90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
\sin\beta=\frac{AH}{AB}=\frac{AH}{2R\sin\gamma}=\frac{R}{2R\sin\gamma}=\frac{1}{2\sin\gamma},
откуда \sin\beta\sin\gamma=\frac{1}{2}
.
Если \beta\geqslant90^{\circ}
, то результат не изменится, так как \sin(180^{\circ}-\beta)=\sin\beta
.