4963. В треугольнике ABC
точка O
— центр вписанной окружности. Величина угла ACB
равна 120^{\circ}
. Найдите радиус описанной около треугольника ABC
окружности, если AO=\sqrt{6}
, BO=3
.
Ответ. \sqrt{5+3\sqrt{2}}
.
Решение. Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому AO
и BO
— биссектрисы углов BAC
и ABC
, значит,
\angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}
(см. задачу 4770). По теореме косинусов
AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}-2AO\cdot BO\cos150^{\circ}}=\sqrt{6+9+2\cdot\sqrt{6}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{15+9\sqrt{2}}.
Следовательно, если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, то по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{AB}{2\sin120^{\circ}}=\frac{\sqrt{15+9\sqrt{2}}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{5+3\sqrt{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет государственного управления МГУ. — 2008, № 3, вариант 1