4969. Окружность касается сторон угла ABC
в точках A
и C
. Прямая, проходящая через точку B
, пересекает окружность в точках D
и E
, причём AE\parallel BC
. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке F
. Найдите BF
, если AB=1
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Из подобия треугольников BDF
и AFB
и теоремы о касательной и секущей следует, что точка F
— середина отрезка BC
.
Решение. Треугольники BDF
и AFB
подобны по двум углам (\angle DBF=\angle DEA=\angle BAF
по теореме об угле между касательной хордой). Поэтому \frac{BF}{AF}=\frac{DF}{BF}
. Отсюда следует, что BF^{2}=DF\cdot AF
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей DF\cdot AF=CF^{2}
. Следовательно,
BF=CF,~BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.