4970. В треугольнике ABC
проведена высота BH
. Центр окружности, вписанной в треугольник ABH
, совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
. Найдите отношение площадей треугольников ABC
и ABH
.
Ответ. \frac{4}{5}
.
Решение. Пусть BB_{1}
и AA_{1}
— медианы треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан. Из условия задачи следует, что AA_{1}
— биссектриса треугольника ABC
, поэтому треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC
.
Обозначим \angle ABB_{1}=\angle HBB_{1}=\varphi
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABH}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}=\sin\angle ABH=\sin2\varphi.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{B_{1}H}{BH}=\frac{AB_{1}}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AC}{AC}=\frac{1}{2}.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника BHB_{1}
находим, что \frac{B_{1}H}{BH}=\tg\varphi
, поэтому \tg\varphi=\frac{1}{2}
.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABH}}{S_{\triangle ABC}}=\sin2\varphi=\frac{2\tg\varphi}{1+\tg^{2}\varphi}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 2008, олимпиада «Абитуриент-2008», отделение специалистов, апрель, № 4, вариант 1