4972. В треугольнике ABC
проведена высота BH
. Точка пересечения медиан треугольника ABC
совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника ABH
. Медиана AA_{1}
треугольника ABC
равна 3. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 3
.
Решение. Пусть BB_{1}
— медиана треугольника ABC
. Из условия задачи следует, что AA_{1}
— биссектриса треугольника ABC
, поэтому треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC
. Обозначим \angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ABA_{1}
находим, что
A_{1}B=AA_{1}\tg\angle BAA_{1}=AA_{1}\tg\alpha=3\tg\alpha,
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=BA_{1}\cdot AA_{1}=3\tg\alpha\cdot3=9\tg\alpha.
Биссектриса BB_{1}
треугольника ABH
делит сторону AH
на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому
\frac{HB_{1}}{BH}=\frac{AB_{1}}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AC}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}=\frac{1}{2}.
С другой стороны, так как \angle ABH=90^{\circ}-2\alpha
, а BB_{1}
— биссектриса угла ABH
, то
\angle HBB_{1}=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-2\alpha\right)=45^{\circ}-\alpha,
поэтому
\frac{HB_{1}}{BH}=\tg\angle HBB_{1}=\tg(45^{\circ}-\alpha)=\frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}.
Значит, \frac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=\frac{1}{2}
. Отсюда находим, что \tg\alpha=\frac{1}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=9\tg\alpha=9\cdot\frac{1}{3}=3.