4978. Две окружности с радиусом 2, первая с центром в точке O_{1}
, касаются друг друга в точке L
. Проведена общая касательная. M
и N
— точки касания. На отрезке MN
взята точка K
так, что MK:KN=1:3
. Отрезок KO_{1}
продолжен за точку O_{1}
до пересечения с первой окружностью в точке P
. Найдите площадь треугольника KPL
.
Ответ. \frac{4+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}
или \frac{4+2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}
.
Решение. Пусть O_{2}
— центр второй окружности, Q
— середина MN
, F
— проекция точки K
на линию центров O_{1}O_{2}
. Тогда KF
— высота треугольника LKO_{1}
.
Рассмотрим случай, когда точка M
лежит на окружности с центром O_{1}
(рис. 1). Четырёхугольник MO_{1}O_{2}N
— прямоугольник, поэтому MQ=O_{1}L=2
, а так как MK:KN=1:3
, то MK=KQ=1
. Из прямоугольного треугольника KMO_{1}
находим, что
KO_{1}=\sqrt{O_{1}M^{2}+MK^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
а так как KF=O_{1}M=2
— высота треугольника O_{1}KL
, то
S_{\triangle O_{1}KL}=\frac{1}{2}O_{1}L\cdot KF=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2.
Следовательно,
S_{\triangle KPL}=\frac{KP}{KO_{1}}\cdot S_{\triangle O_{1}KL}=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot2=\frac{4+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}.
Пусть теперь точка M
лежит на окружности с центром O_{2}
(рис. 2). Тогда
NK=3,~KO_{1}=\sqrt{O_{1}N^{2}+NK^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},
S_{\triangle O_{1}KL}=\frac{1}{2}O_{1}L\cdot KF=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2.
Следовательно,
S_{\triangle KPL}=\frac{KP}{KO_{1}}\cdot S_{\triangle O_{1}KL}=\frac{2+\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\cdot2=\frac{4+2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}.