4981. Внутри треугольника ABC
взята точка K
так, что треугольник ABK
— равносторонний. Известно, что расстояние от точки K
до центра окружности, описанной около треугольника ABC
, равно 6 и величина угла ACB
равна \arcsin\frac{5}{2\sqrt{13}}
. Найдите длину стороны AB
.
Ответ. 10\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По условию \sin\gamma=\frac{5}{2\sqrt{13}}
.
Точка K
лежит внутри треугольника ABC
, поэтому лучи AK
и BK
проходят между сторонами углов BAC
и ABC
соответственно, значит,
\alpha\gt60^{\circ},~\beta\gt60^{\circ},~\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)\lt180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\lt90^{\circ},
а так как \sin\gamma=\frac{5}{2\sqrt{13}}\gt\frac{1}{2}
, то 30^{\circ}\lt\gamma\lt90^{\circ}
.
Кроме того,
\alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)\lt180^{\circ}-(60^{\circ}+30^{\circ})=90^{\circ}.
Аналогично, \beta\lt90^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
— остроугольный, поэтому центр O
его описанной окружности лежит внутри треугольника.
Центральный угол AOB
этой окружности вдвое больше вписанного угла ACB
, т. е. \angle AOB=2\gamma\gt60^{\circ}
, значит, точка O
лежит внутри равностороннего треугольника AKB
, а значит, на его высоте KH
.
Пусть R
— радиус окружности с центром O
, описанной около треугольника ABC
, H
— середина AB
. Точки O
и K
равноудалены от концов отрезка AB
, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к AB
.
Пусть AB=AK=BK=2x
, OA=OB=R
. Тогда KH=x\sqrt{3}
, а так как OH=KH-OK=x\sqrt{3}-6\gt0
, то x\gt\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}
.
По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{2x}{2\cdot\frac{5}{2\sqrt{13}}}=\frac{2x\sqrt{13}}{5}.
По теореме Пифагора R^{2}=OH^{2}+AH^{2}
, или
\left(\frac{2x\sqrt{13}}{5}\right)^{2}=(x\sqrt{3}-6)^{2}+x^{2}~\Leftrightarrow~4x^{2}-25x\sqrt{3}+75=0,
откуда x=5\sqrt{3}
или x=\frac{5}{4}\sqrt{3}
, а так как \frac{5}{4}\sqrt{3}\lt2\sqrt{3}
, а 5\sqrt{3}\gt2\sqrt{3}
, то
AB=2x=2\cdot5\sqrt{3}=10\sqrt{3}.