4987. Площадь четырёхугольника ABCD
равна 9, радиус вписанной в него окружности равен 1, а длины сторон AB
и BC
равны 3 и 5 соответственно. Чему равны длины сторон AD
и CD
?
Ответ. CD=6
; DA=4
.
Решение. Пусть r=1
— радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
, p
— полупериметр четырёхугольника, S
— площадь. Обозначим AD=x
, CD=y
.
По свойству описанного четырёхугольника AB+CD=BC+AD
, или 3+y=5+x
, y-x=2
, а так как площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, т. е. S=pr
, или 9=(5+x)\cdot1
, откуда находим, что AD=x=4
. Следовательно, CD=y=x+2=4+2=6
.