4989. Диагональ разбивает выпуклый четырёхугольник на два равных треугольника со сторонами длин 5, 12 и 13. Найдите радиус наименьшего круга, в который можно поместить такой четырёхугольник.
Ответ. \frac{13}{2}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами AB=13
, BC=12
, AC=5
. Этот треугольник прямоугольный, так как
BC^{2}+AC^{2}=144+25=169=13^{2}=AB^{2},
причём \angle ACB=90^{\circ}
.
Заметим, что диаметр любого круга, в который можно поместить прямоугольный треугольник, не меньше гипотенузы треугольника, т. е. диаметра описанной окружности этого треугольника.
Предположим что AB
— диагональ четырёхугольника ACBC_{1}
, где ACB
и AC_{1}B
(или BC_{1}A
) — равные треугольники (рис. 1). Тогда точки C
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром AB
, значит, этот четырёхугольник можно поместить в круг, радиус которого равен половине общей гипотенузы AB
этих треугольников, т. е. \frac{13}{2}
, причём радиус любого другого круга, в который можно поместить четырёхугольник ACBC_{1}
, будет больше.
Пусть AC
— диагональ четырёхугольника ABCB_{1}
, в котором AB_{1}=BC
и CB_{1}=AB
(рис. 2). Тогда ABCB_{1}
— параллелограмм, его диагональ BB_{1}
проходит через середину M
диагонали AC
. Любой круг, в который можно поместить четырёхугольник ABCB_{1}
, содержит отрезок
BB_{1}=2BM=2\sqrt{144+\frac{25}{4}}\gt13,
значит, радиус такого круга не меньше \frac{13}{2}
.
Пусть теперь BC
— диагональ четырёхугольника ABA_{1}C
(рис. 3). Тогда ABA_{1}C
— параллелограмм, его диагональ AA_{1}
проходит через середину N
диагонали BC
, а так как
AA_{1}=2AN=2\sqrt{25+36}\gt13,
то радиус любого круга, в который можно поместить четырёхугольник ABA_{1}C
, не меньше \frac{13}{2}
.
Следовательно, радиус наименьшего круга, в который можно поместить такой четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, равен \frac{13}{2}
.