4990. Расположенные в одной плоскости два равных треугольника со сторонами длин 3, 4 и 5 имеют общую сторону, образуя выпуклый четырёхугольник. Найдите диаметр наибольшего круга, который можно в него поместить.
Ответ. \frac{24}{7}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами AB=5
, BC=4
, AC=3
. Этот треугольник прямоугольный, так как
BC^{2}+AC^{2}=16+9=25=5^{2}=AB^{2},
причём \angle ACB=90^{\circ}
.
Предположим, что AB
— диагональ четырёхугольника ACBC_{1}
, где ACB
и AC_{1}B
— равные треугольники (рис. 1). Тогда диаметр наибольшего круга, который можно поместить в такой четырёхугольник — это радиус r
вписанного в четырёхугольник круга. Если S=AC\cdot BC=3\cdot4=12
— площадь четырёхугольника ACBC_{1}
, а p=3+4=7
— его полупериметр, то r=\frac{S}{p}=\frac{12}{7}
.
Предположим, что AB
— диагональ четырёхугольника ACBC_{1}
, где ACB
и BC_{1}A
— равные треугольники (рис. 2). Тогда ACBC_{1}
— прямоугольник, поэтому радиус наибольшего круга, который можно поместить в такой прямоугольник равен половине наименьшей стороне прямоугольника, т. е. \frac{3}{2}
\left(\frac{3}{2}\lt\frac{12}{7}\right)
.
Пусть AC
— диагональ четырёхугольника ABCB_{1}
, в котором AB_{1}=BC
и CB_{1}=AB
(рис. 3). Тогда ABCB_{1}
— параллелограмм, поэтому радиус наибольшего круга, который можно поместить в такой параллелограмм, не более половины наименьшей высоты этого параллелограмма, т. е. половине высоты CH
прямоугольного треугольника ABC
, опущенной на гипотенузу:
\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\cdot4}{5}=\frac{6}{5},~\left(\frac{6}{5}\lt\frac{12}{7}\right).
Пусть теперь BC
— диагональ четырёхугольника ABA_{1}C
(рис. 4). Тогда ABA_{1}C
— параллелограмм, поэтому радиус наибольшего круга, который можно поместить в такой параллелограмм, не больше найденной ранее половины высоты CH
прямоугольного треугольника ABC
, т. е. \frac{6}{5}
.
Следовательно, диаметр наибольшего круга, который можно поместить в четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, равен \frac{24}{7}
.