4995. Диагонали четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, пересекаются в точке E
. Найдите периметр и площадь треугольника ABC
, если BC=CD=6
, AB=7
, CE=3
.
Ответ. 25
и \frac{5}{4}\sqrt{143}
.
Решение. Вписанные углы BAC
и DAC
равны, так как они опираются на равные дуги BC
и CD
, не содержащие точки A
. Вписанные углы CBD
и DAC
равны, так как они опираются на одну дугу, значит
\angle CBE=\angle CBD=\angle CAB,
поэтому треугольник CBE
подобен треугольнику CAB
по двум углам (угол при вершине C
— общий) причём коэффициент подобия равен \frac{CE}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
. Тогда AC=2BC
, или 3+AE=12
, откуда находим, что AE=9
, а AC=3+9=12
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
BC+AB+AC=7+6+12=25.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{\frac{25}{2}\cdot\left(\frac{25}{2}-7\right)\cdot\left(\frac{25}{2}-6\right)\cdot\left(\frac{25}{2}-12\right)}=\frac{5}{4}\sqrt{11\cdot13\cdot1}=\frac{5}{4}\sqrt{143}.