4999. Окружность касается другой окружности в точке A
, а её хорды BC
— в точке D
. Найдите радиус второй окружности, если BC=6
и \angle BAD=30^{\circ}
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Докажем, что AD
— биссектриса угла BAC
.
Первый способ. При гомотетии с центром A
, переводящей первую окружность во вторую, касательная BC
к первой окружности перейдёт в параллельную ей касательную ко второй окружности, а точка касания D
— в середину M
дуги BC
второй окружности, не содержащей точки A
. Значит, вписанные углы BAM
и CAM
равны, так как они опираются на равные дуги второй окружности. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямая CB
пересекает общую касательную окружностей точке K
(C
между B
и K
). Обозначим
\angle KAD=\varphi,~\angle KAC=\alpha,~\angle BAD=\gamma.
Тогда KA=KD
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, треугольник AKD
— равнобедренный. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABD=\angle KAC=\alpha.
Поэтому
\angle ADC=\angle KAD=\varphi,~\angle ADC=\alpha+\gamma=\varphi
(внешний угол треугольника ABD
). Следовательно,
\angle DAC=\varphi-\alpha=\gamma.
Что и требовалось доказать.
Таким образом, \angle BAC=2\angle BAD=60^{\circ}
. Следовательно, если R
— радиус второй окружности, то по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}.