5000. Стороны треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC
. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
можно получить из треугольника ABC
с помощью гомотетии или параллельного переноса.
Указание. При гомотетии прямая переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую.
Решение. Предположим, что прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке O
(рис. 1). При гомотетии с центром O
и коэффициентом \frac{A_{1}B_{1}}{AB}
или \frac{A_{1}B_{1}}{AB}
отрезок AB
переходит в отрезок A_{1}B_{1}
, а так как при гомотетии прямая переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую, точка C
пересечения прямых BC
и AC
переходит в точку пересечения прямых B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
, т. е. в точку C_{1}
. Следовательно, при рассматриваемой гомотетии треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
.
Если же прямые AA_{1}
и BB_{1}
параллельны (рис. 2), то треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AA_{1}}
.
Примечание. Если треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
не равны и одинаково ориентированы, то коэффициент гомотетии положителен. Если ориентация разная, то коэффициент гомотетии отрицателен (рис. 3).
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — № 310, с. 146