5003. Докажите, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда около неё можно описать окружность.
Указание. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра. Основание равнобедренной трапеции видно из вершин другого основания под одним и тем же углом.
Решение. Достаточность. Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда она симметрична относительно диаметра окружности, перпендикулярного основаниям. Следовательно, трапеция — равнобедренная.
Необходимость. Пусть трапеция ABCD
— равнобедренная, AB
и CD
— её основания. Тогда треугольники ABC
и BAD
равны. Следовательно, \angle ADB=\angle ACB
. Поэтому точки A
, D
, C
и B
лежат на одной окружности, т. е. четырёхугольник ABCD
— вписанный.