5004. Точки M
и N
расположены по одну сторону от прямой l
. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l
такую точку K
, для которой сумма MK+NK
была бы наименьшей.
Указание. Рассмотрите образ одной из данных точек при симметрии относительно прямой l
и примените неравенство треугольника.
Решение. Пусть N_{1}
— точка, симметричная точке N
относительно прямой l
. Тогда для любой точки K
прямой l
MK+NK=MK+N_{1}K\geqslant MN_{1}.
Равенство достигается в случае, когда K
— точка пересечения прямых l
и MN_{1}
.
Примечание. Из этого утверждения следует, что касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания. (См. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. Гл.1.)