5008. Внутри острого угла даны точки M
и N
. С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах угла точки K
и L
так, чтобы периметр четырёхугольника MKLN
был наименьшим.
Указание. Примените симметрию относительно сторон угла и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть M_{1}
— точка, симметричная точке M
относительно одной из сторон угла, N_{1}
— точка, симметричная точке N
относительно другой стороны, K
и L
— точки на соответствующих сторонах угла. Тогда
MK+KL+NL=M_{1}K+KL+N_{1}L\geqslant M_{1}N_{1}
(неравенство треугольника). Следовательно, минимум этой суммы достигается для точек K
и L
, являющихся точками пересечения прямой M_{1}N_{1}
со сторонами данного угла.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 434, с. 25
Источник: Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — № 290, с. 33