5010. Задача Фаньяно. Впишите в данный остроугольный треугольник ABC
треугольник наименьшего периметра.
Указание. Пусть A_{1}
— вершина искомого треугольника, принадлежащая стороне BC
треугольника ABC
. Рассмотрите образы точки A_{1}
при симметриях относительно прямых AB
и AC
.
Решение. Пусть вершины A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
принадлежат сторонам соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Рассмотрим точки M
и N
, симметричные точке A_{1}
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Тогда, если P_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
— периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, то
P_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=A_{1}C_{1}+C_{1}B_{1}+B_{1}A_{1}=MC_{1}+C_{1}B_{1}+B_{1}N\geqslant MN,
причём равенство достигается только в случае, если прямая MN
проходит через точки B_{1}
и C_{1}
. Поскольку AM=AA_{1}=AN
, то треугольник MAN
— равнобедренный и
\angle MAN=2\angle BAA_{1}+2\angle A_{1}AC=2\angle BAC.
Следовательно,
MN=2AM\sin\angle BAC=2AA_{1}\sin\angle BAC\geqslant2h\sin\angle BAC,
где h
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
. Равенство достигается только в случае, когда точка A_{1}
— основание высоты.
Отсюда следует, что искомый треугольник — это треугольник с вершинами в основаниях высот данного, т. е. ортотреугольник данного треугольника. Действительно, пусть AA'
, BB'
и CC'
— высоты треугольника ABC
, а точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
расположены на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
. Если треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
не совпадает с треугольником A'B'C'
, то по ранее доказанному
P_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}\geqslant P_{\triangle A'B_{1}C_{1}}\geqslant P_{\triangle A'PQ},
где P
и Q
— точки пересечения прямой MN
со сторонами соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. При этом хотя бы один из знаков неравенства — строгий. Значит, искомый треугольник минимального периметра — это треугольник A'PQ
. Если бы точка P
не совпадала с точкой C'
, то, повторив предыдущие рассуждения, построили бы треугольник, периметр которого меньше периметра треугольника A'PQ
, что невозможно. Аналогично для точки Q
. Таким образом, точка P
совпадает с C'
, а точка Q
— с точкой B'
.
Примечание. 1. Изложенное решение основано на доказательстве Фейера (L.Fejer). Это, а также другие изящные доказательства данного утверждения (Г.А.Шварц, Л.Шрутка, Бюкнер) см. в книге Г.Радемахера и О.Тёплица «Числа и фигуры» (М., 1962, с.36-46).
2. Точки P
и Q
пересечения прямой MN
со сторонами соответственно AB
и AC
также будут основаниями высот треугольника ABC
(см. задачу 11140).
3. См. также статью А.Егорова «Ортоцентрический треугольник», Квант, 2001, N4, с.36-38.