5011. Точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой l
. С помощью циркуля и линейки постройте на этой прямой точку M
так, чтобы прямая l
делила угол AMB
пополам.
Указание. Прямая, содержащая биссектрису угла, есть ось симметрии угла.
Решение. Если точки A
и B
симметричны относительно прямой l
, то задача имеет бесконечное число решений. В качестве точки M
можно взять любую точку данной прямой.
Если прямая AB
перпендикулярна прямой l
, а точки A
и B
удалены от l
на разные расстояния, то решений нет.
Пусть точки A
и B
равноудалены от прямой l
, но не лежат на одном перпендикуляре к ней. Обозначим через A'
и B'
проекции точек соответственно A
и B
на прямую l
. Если \angle AMA'=\angle BMB'
, то прямоугольные треугольники AMA'
и BMB'
равны по катету и противолежащему острому углу, что невозможно, так как MA'\ne MB'
. Следовательно, в этом случае задача не имеет решений.
Во всех остальных случаях искомая точка M
является точкой пересечения данной прямой l
с прямой, проходящей через одну из данных точек, и точку, симметричную другой относительно прямой l
.