5012. На окружности, описанной около треугольника ABC
, найдите точку M
такую, что расстояние между её проекциями на прямые AC
и BC
максимально.
Указание. Точка M
, её проекции на прямые AC
и BC
и вершина C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точки M
на прямые AC
и BC
. Тогда точки M
, P
, Q
и C
лежат на окружности с диаметром MC
. Следовательно,
PQ=MC\sin\angle ACB.
Поэтому PQ
максимально, если MC
максимально, т. е. когда MC
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1979-80, VI, IV этап, 9 класс
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 11.17, с. 284
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.17, с. 275