5013. На прямой, содержащей сторону AB
остроугольного треугольника ABC
, постройте точку M
такую, что расстояние между её проекциями на прямые AC
и BC
минимально. Чему равно это расстояние?
Указание. Точка M
, её проекции на прямые AC
и BC
и вершина C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции искомой точки M
на прямые AC
и BC
. Тогда точки P
, M
, Q
и C
расположены на окружности с диаметром MC
. Поэтому PQ=MC\sin\angle ACB
. Следовательно, PQ
минимально, если минимально MC
, т. е. когда M
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
.
Если h
— длина этой высоты, то минимальное расстояние между указанными проекциями точки M
равно h\sin\angle ACB
.