5025. Четырёхугольник имеет две неперпендикулярные оси симметрии. Верно ли, что это — квадрат?
Ответ. Да.
Указание. Рассмотрите все четырёхугольники, имеющие хотя бы одну ось симметрии.
Решение. Ясно, что квадрат удовлетворяет данному условию, так как его диагональ и серединный перпендикуляр к стороне — две не перпендикулярные оси симметрии.
Для доказательства того, что других таких четырёхугольников нет, достаточно перебрать все четырёхугольники, имеющие хотя бы одну ось симметрии. Это равнобедренная трапеция, ромб, прямоугольник и четырёхугольник (обозначим его ABCD
), в котором AB=AD
, BC=CD
и AB\ne BC
.