5026. На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Какое наименьшее число раз нужно согнуть лист, чтобы убедиться в том, что это квадрат?
Ответ. Два раза.
Указание. Докажите, что из всех четырёхугольников только квадрат имеет неперпендикулярные оси симметрии.
Решение. Одного раза недостаточно. При сгибе по диагонали AC
четырёхугольника ABCD
, у которого AB=AD,BC=CD
и AB\ne BC
, этот четырёхугольник переходит сам в себя, но это не квадрат.
Для сгиба не по диагонали опровергающим примером может служить равнобедренная трапеция.
Двух раз достаточно. Перегнём лист по серединному перпендикуляру к стороне четырёхугольника, затем — по диагонали. Из всех четырёхугольников только квадрат имеет неперпендикулярные оси симметрии.