5027. Докажите, что для любого натурального n
существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n
осей симметрии.
Решение. Примерами таких многоугольников служат:
для n=1
— равнобедренный (но не равносторонний) треугольник;
для n=2
— ромб, не являющийся квадратом;
для n\geqslant3
— правильный n
-угольник.
Выпуклый n
-угольник не может иметь больше n
осей симметрии. Действительно, фиксированная вершина A
должна при симметрии перейти в какую-то вершину A'
, а разным вершинам A'
, отличным от A
, соответствуют разные оси симметрии. Кроме того, есть не больше одной оси симметрии, проходящей через A
: она может идти только по биссектрисе угла A
.