5034. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.
Указание. Пусть A_{1}
и B_{1}
— основания биссектрис AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
. Тогда прямая AB_{1}
является касательной к окружности с центром в точке A_{1}
и радиусом, равным расстоянию от точки A_{1}
до прямой AB
.
Решение. Предположим, что задача решена. Пусть сторона AB
треугольника ABC
лежит на данной прямой l
, а AA_{1}
и BB_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
. Тогда точка A_{1}
удалена на равные расстояния от лучей AC
и AB
и, следовательно, является центром окружности, вписанной в угол BAC
. Аналогично для точки B_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружности с центрами в данных точках (A_{1}
и B_{1}
) и радиусами, равными расстояниям от этих точек до данной прямой. Затем проводим касательные к построенным окружностям, проходящие через данные точки.
Если A_{1}B_{1}
меньше одного из расстояний от данных точек до прямой l
, то задача не имеет решений. В остальных случаях задача имеет два или одно решение.